量子糾錯是在有噪聲硬件上實現(xiàn)可靠量子計算機的基石?；谕負浯a的傳統(tǒng)方法已取得了實驗進展，但由于編碼率低，通常需要數(shù)百萬個物理量子比特才能夠支撐實際應(yīng)用。為突破這一瓶頸，學(xué)界轉(zhuǎn)向?qū)α孔拥兔芏绕媾夹ｒ灤a的研究，這類編碼在理論上可降低量子糾錯所需的資源開銷。其中，雙變量雙循環(huán)量子糾錯碼尤為引人關(guān)注。它在近期可實現(xiàn)的量子硬件條件下，有望將資源需求減少一個數(shù)量級。

近日，中國科學(xué)院理論物理研究所研究團隊與中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)、北京大學(xué)的科研人員，在此類量子糾錯碼的理論研究方面取得進展。該研究融合代數(shù)、幾何與拓撲方法，建立了研究BB碼的拓撲理論框架。

研究團隊注意到BB碼與分形子物理在研究方法上的共通性，借鑒分形子領(lǐng)域發(fā)展出的代數(shù)工具，并結(jié)合Gr?bner基等方法，實現(xiàn)了對任意給定BB碼拓撲性質(zhì)的高效表征。研究發(fā)現(xiàn)，這類量子糾錯碼普遍具有以任意子為特征激發(fā)的拓撲序，但其任意子激發(fā)在短程移動中呈現(xiàn)出類似分形子的特征，即移動過程必然伴隨能量的改變。

進一步，該研究揭示了一種在BB碼中普遍存在的“拓撲阻挫”現(xiàn)象。不同于傳統(tǒng)拓撲碼，BB碼在環(huán)面上的基態(tài)簡并度一般小于任意子總數(shù)。研究認為，該現(xiàn)象與任意子的準分形移動行為相關(guān)，二者共同反映平移對稱性富化拓撲序這一深層次的拓撲物態(tài)結(jié)構(gòu)。同時，研究利用Koszul復(fù)形的對稱性質(zhì)，闡明了阻挫情形下邏輯算符與任意子激發(fā)之間的精確對應(yīng)關(guān)系。

在方法論層面，該研究利用Gr?bner基等代數(shù)方法實現(xiàn)了對BB碼的逐個高效表征，并引入基于Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko定理的代數(shù)幾何方法，揭示了在近環(huán)面碼布局下BB碼拓撲序的一般變化規(guī)律。通過Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko定理，任意子的種類可通過計算由相互作用形式?jīng)Q定的牛頓多面體的混合體積獲得。

上述研究揭示了量子糾錯、任意子激發(fā)、對稱性與拓撲物態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為發(fā)展新型高性能量子糾錯碼提供了理論支撐。利用這些數(shù)學(xué)物理原理，科研人員在同期發(fā)表于《物理評論X輯-量子》（PRX Quantum）的相關(guān)工作中，將BB碼推廣到扭轉(zhuǎn)邊界條件情形，實現(xiàn)了糾錯效率的提升。

相關(guān)研究成果發(fā)表在《物理評論快報》（Physical Review Letters）上。研究工作得到國家自然科學(xué)基金委員會和中國科學(xué)院等的支持。

環(huán)面上任意子的類分形子移動行為，以及通過牛頓多面體（紅色與綠色三角形）的混合體積（紫色平行四邊形）計算任意子種數(shù)的代數(shù)幾何方法，其中牛頓多面體由相互作用量子比特的相對位置確定。